معادلة الدرجة الثالثة س3 +ب س2+ حـ س + د = 0 إذا استبدلنا س بـ س – ب/3 فأن المعادلة تتحول للصورة س3 +ك س + ل = 0 خالية من الحد المشتمل على س2 حيث ك ، ل حقيقيان وعليه تكون هناك حالتين
أحدهما وجود ثلاثة جذور حقيقية أو جذر حقيقي وجذران تخيليان مترافقان ولمعرفة في أي حالة نحن نشتق المعادلة الأخيرة فنحصل على 3س2 + ك فإن كانت ك>0 فإن 3س2 + ك > 0 وعليه تكون الدالة د(س) = س3+ك س – ل متزايدة دوماً وبالتالي يوجد جذر حقيقي واحد لأن الانتقال للمتغير س من سالب ما لانهاية إلى موجب ما لانهاية فإن إشارة الدالة د(س) تتغير من (-) إلى (+) .
والحالة الثانية أن تكون ك < 0 فيكون للدالة د(س) قيمة عظمى عندما س = - جذر(- ك/3) وقيمة صغرى عندما س = جذر(- ك/3) وبالتعويض عن هاتين القيمتين في د(س) فتكون القيمتين العظمى والصغرى هما ل + (2ك/3)جذر((- ك/3) ، ل - (2ك/3)جذر((- ك/3) فإن كان للقيمتين نفس الإشارة بمعنى
( ل + (2ك/3)جذر((- ك/3) )( ل - (2ك/3)جذر((- ك/3) ) = ل2 + 2ل2/27 > 0 أو (ل2)/4 +(ك2)/27 > 0
فللمعادلة جذر حقيقي واحد يقع في المجال[سالب ما لانهاية ، - جذر(- ك/3) ] أو المجال [موجب ما لانهاية ، + جذر(- ك/3) ]
وإذا كان (ل2)/4 +(ك2)/27< 0(القيمة العظمى سالبة والصغرى موجبة) كانت إشارات الدالة د(س)عند القيم
– ما لانهاية، - جذر(- ك/3)، جذر(- ك/3) ، + ما لانهاية هي - ، + ، - ، + على الترتيب فإنه توجد ثلاثة جذور حقيقية
أما الحالة التي يكون فيها (ل2)/4 +(ك2)/27 = 0 ، ك لا تساوي الصفر، ك < 0 فللمعادلة الجذور جذر(- ك/3)،- جذر(- ك/3)، 3ل/ك
أما الحالة التي يكون فيها ل = 0 ، ك لا تساوي الصفر فنحصل على س3 + ل = 0 وهنا يوجد جذر حقيقي واحد هو (الجذر التكعيبي– ل)
أما الحالة التي يكون فيها ل= ك = 0 فللمعادلة جذر مضاعف ثلاث مرات س = 0
وملخص السابق في الجدول
| س3 + ك س + ل = 0 | |
| (ل2)/4 +(ك2)/27 > 0 | جذر حقيقي واحد وجذران تخيليان مترافقان |
| (ل2)/4 +(ك2)/27 < 0 | ثلاث جذور حقيقية مختلفة |
| (ل2)/4 +(ك2)/27 = 0 | ثلاث جذور حقيقية بينها جذران متساويان |
لكن نحن في حاجة لمعرفة الجذور كقانون للمعادلة س3 + ك س + ل = 0 سنضع س = م + ن ونعوض في المعادلة فنحصل على
م3 + ن3 + ( م + ن )( 3 م ن + ك ) + ل = 0 ونأخذ الشرط 3 م ن + ك = 0 فتصبح المعادلة السابقة بالسابقة م3 + ن3 = - ل و بحل المعادلتين م ن = - ك/3 ---(1) ، م3 + ن3 = - ل ---(2) نحصل على المعادلة م6 + ل م3 – (ك3)/27 =0 ومنها
م = الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 + جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27)) ، ن = الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 - جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27)) وعودة للمعادلة
س = م + ن يكون
س = الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 + جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27) ) + الجذر التكعيبي لـ (- ل/2 - جذر( (ل2)/4 + (ك3)/27))
وهذا القانون يعطي حل للمعادلة س3 + ك س + ل = 0 ويعرف بقانون كاردان نسبة للعالم الإيطالي كاردان في القرن السادس عشر وإذا رمزنا لما موجود تحت الجذر التكعيبي بالرمزين ى ، ي تكون س = (ى)^(1/3) + (ي)^(1/3) وتوجد هنا 9 قيم ثلاثة فقط لمعادلتنا والتي يجب أن يكون حاصل ضرب الجذرين التكعيبيين مساوياً – ك/3 ونعلم أن الجذرين التكعيبيين للواحد الصحيح هما
W = - ½ + ((جذر3)/2) ت ، W^2 = - ½ - ((جذر3)/2) ت وعليه تكون الجذور الثلاثة المطلوبة هي
(ى)^(1/3) + (ي)^(1/3) ، w(ى)^(1/3) + w^2((ي)^(1/3)) ، w^2( (ى)^(1/3)( +w (ي)^(1/3)
فمثلا الجذر الأول للمعادلة س3 + 3 س – 30 = 0 هو (50)^(1/3) - (20)^(1/3)
شارك هذه الصفحة :
|
0 التعليقات:
إرسال تعليق