القضية Proposition :

القضية هي جملة خبرية تحتمل إمكانيتان فقط فهي محددة من حيث أنها إما جملة صواب و و إما خطأ.

أمثلة :

1- جذر العدد 2 عدد غير نسبي.
2- 1+1=5.
3- أحمد يدرس فيزياء بحتة.

كل جملة من الجمل السابقة تشكل قضية .
و يمكن ملاحظة أن قضية ما قد يكون بالإمكان التثبت من صحتها
بينما قد نجد قضية أخرى لا يمكن بحال اختبارها لعدم توفر أدوات ذلك مثل قولنا
4- سوف ينقرض سمك القرش قبل الحيتان.
و طبعا هناك جمل لا تشكل قضايا مثل :
5-    ماذا تقول؟
6-    هذه الجملة خاطئة
7-    مربع^[م] العدد س يساوي 36.
فالجملة الأولى استفهامية و لا معنى لكونها صادقة أم لا
أما الجملة الثانية فهي مضللة. لماذا؟
و بالتالي لا يمكن أن تكون صحيحة كما لا يمكن أن تكون خاطئة.
أما الجملة الأخيرة فهي صحيحة لبعض قيم س و في نفس الوقت غير صحيحة لبعض القيم الأخرى.

أنواع القضايا :

القضايا نوعان إما قضايا بسيطة أو مركبة.

البرمجة الخطية

Linear Programming

البرمجة الخطية هي فرع من الاستمثال الرياضي وهذا الفرع يبحث في إيجاد النقاط المثلى لدالة معينة وفق قيود (constraints) معينة.
البرمجة الخطية هي حالة خاصة جداً بحيث أن الدالة هي خطية والقيود عبارات عن متراجحات خطية .
ولها تطبيقات كثيرة ،
مثلاً في متغيرين $x_1,x_2$ نريد أن نجد أصغر قيمة للمقدار $c_1x_1 + c_2 x_2$ ولكن بشرط أن يحقق الحل المتراجحات التالية:
$\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2 \leq b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2 \leq b_2 \\a_{31}x_1+a_{32}x_2 \leq b_3\end{array}$

في حالة متغيرين في مجموعة حل نظام المتراجحات تكون عادة محددة بمضلع ما . والمبرهنة^[م] الرئيسة للبرمجة الخطية هي أن النقطة المثلى (إن وجدت) هي أحد رؤوس المضلع!

يمكن تعميمها لـ n من المتغيرات بـ m من المتراجحات .
لتكن $c,x \in \mathbb R^n , b \in \mathbb R^m, A \in \mathbb R^{m \times n}$

فإن مسألة البرمجة الخطية تصاغ بالشكل المصفوفي المختصر:
$\begin{array}{ll}\mbox{minimize} & c^T x \\ \mbox{subject to} & Ax \leq b \end{array}$

تكون مجموعة حل نظام المتباينات عبارة فوق-مسطح polytope في الفضاء $\mathbb R^n$ ، وتكون النقطة المثلى إن وجدت أحد رؤوس فوق-المسطح.
وتسمى هذه المنطقة المحصورة بالمسطح بالمجموعة الممكنة feasible set ، وإن كانت المجموعة خالية فإن المسألة غير ممكنة infeasible .

لذا يجب البحث عن النقطة المثلى عبر رؤوس هذا المسطح والتي قد يكون عددها كبيراً عندما تكون n بالمئات أو الآلاف.

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

لن نعتمد الجانب النظري أو المجاهيل في كتابة هذا الموضوع بل سـأضع مثالاً و أطبق عليه الطريقة.

هذه الطريقة صالحة من أجل $\det (A) \ne 0$ حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط $\det (A) \ne 0$

معكوس مصفوفة

لتكن A مصفوفة معرفة كما يلي:

$A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]$

الخطوة الأولى : حساب محدد^[م] المصفوفة ، وسنختار العمود الأخير لحسابه. إذا

$\det (A) = 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| - 0 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| + 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 2 & 1 \\\end{array}} \right| = - 9 + 5 = - 4$

إذا المصفوفة قابلة للإنعكاس .

الخطوة الثانية : نقوم بحساب ألفة المصفوفة. إن حساب الألفة يعتمد على حساب المحدد و يمز لها بـ $\tilde A$

$\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { - ( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( + 3)} \\ { + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]$

كيف تم الحساب ؟

تقطير المصفوفات

Matrix Diagonalization

تعريف 1: المصفوفة A من الحجم n×n تدعى قطورة (أو قابلة للتقطير) إذا كنت مشابهة لمصفوفة قطرية، أي إذا وجدت مصفوفة P عكوسة (قابلة للإنعكاس) بحيث أن المصفوفة $P^{ - 1} AP$ تكون مصفوفة قطرية. عملية إيجاد P تسمى تقطيراً للمصفوفة A.
قد يدور تساؤل فيما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قطورة ، والجواب هو: لا، توجد مصفوفات^[م] لا تقبل التقطير .

مبرهنة^[م] 1: المصفوفة A من الحجم n×n تكون قطورة إذا وفقط إذا كان لديها n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً^[م].
البرهان:
$\Leftarrow$
لنفرض أن A قطورة، إذاً توجد مصفوفة عكوسة بحيث $D = P^{ - 1} AP$ قطرية. لتكن $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ عناصر القطر للرئيسي لـ D ، ولتكن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ متجهات^[م] الأعمدة لـ p ، فإن:
$PD = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 \lambda _1 } & {p_2 \lambda _2 } & {...} & {p_n \lambda _n } \\\end{array}} \right]$
وبما أن $D = P^{ - 1} AP$ فإن $AP=PD$ مما يؤدي إلى:

العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل

Prime Elements and Irreducible Elements

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد. نقول عن $p \in R$ أنه عنصر أولي prime element إذا تحقق التالي:

1. p ليس صفر ولا عنصر وحدة

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $p|ab$ فإن $p|a$ أو $p|b$ .

نقول عن العنصر $q \in R$ أنه غير قابل للتحليل irreducible إذا تحقق ما يلي:

1. q ليس صفر ولا عنصر وحدة.

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $q = ab$ فإما a عنصر وحدة أو b عنصر وحدة.

أمثلة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ العناصر الأولية هي العناصر الغير قابلة للتحليل وهي الأعداد الأولية.

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ عمليات الضرب الممكنة للعنصر $6$ هي

$6 = 1 \otimes 6 = 2 \otimes 3 = 2 \otimes 7 = 5 \otimes 6$

لذلك $6$ غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة^[م] الوحدات

$U(\mathbb{Z}_8 ) = \{ 1,3,5,7\}$

3. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 3} ) = \{ a + b\sqrt { - 3} :a,b \in \mathbb{Z}\}$ العنصر $\sqrt { - 3}$ أولي وكذلك غير قابل للتحليل. إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

حقيقة1: في حلقة تامة R. إذا كان p غير قابل للتحليل فإن قواسمه هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط.

الحلقة النيوثرية

الحلقة^[م] النيوثرية

Noetherian Ring

جدول المحتويات [اخفاء]

لمحة تاريخية

تعد الحلقة النيوثرية جزءا هاما من الجبر بالنسبة لنظرية^[م] العدد وبالذات في فرع الهندسة الجبرية. سميت الحلقة النيوثرية نسبة للرياضية الألمانية Amalie Emmy Noether (1882م-1935م) ووالدها هو الرياضي Max Noether. اشتهرت نيوثر بعملها في فروع جبرية متعددة مثل حقول العدد وحسبان التنوع وبإسهاماتها في الفيزياء النظرية. تعد نيوثر من أشهر النساء اللاتي عملن في حقل^[م] الرياضيات وتعتبر نظرية نويثر في الفيزياء من أفضل النظريات الرياضية الدافعة لتطور الفيزاء النظرية. أيضا يعزى لها الإستخدام البارع لشرط السلسة المتصاعدة وتوظيفها للمثاليات بفعالية أكبر في الحلقات. انتقلت في أواخر حياتها تحت ضغط النازية إلى الولايات المتحدة والتحقت بإحدى الكليات هناك. للمزيد حول حياتها وأعمالها انظر http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

رياضيات , جبر الحلقة النيوثرية Noether

Noetherian Ring

تعريف

نقول عن حلقة R أنها تحقق شرط السلسلة المتصاعدة ascending chain condition واختصاره ACC إذا كانت كل سلسلة تصاعدية

$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

من المثاليات في R تصبح مستقرةstationary . بمعنى يوجد عدد صحيح موجب n بحيث

$A_n = A_{n + 1} = A_{n + 2} = \ldots$

نقول عن حلقة R أنها نيوثرية Noetherian إذا كانت تحقق شرط السلسلة المتصاعدة.

إذا الحلقة النيوثرية هي التي لا تحتوي على سلسلة لا نهائية ومتصاعدة فعليا strictly ascending من المثاليات.

منطقة التحليل الوحيد

Unique Factorization Domain (UFD)

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف

نقول عن حلقة^[م] تامة R أنها منطقة تحليل وحيد (م.ت.و) إذا تحقق ما يلي:

(1) كل عنصر غير صفري a يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل, أي على الصورة $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث u عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل و $n \geqslant 0$ .

(2) أن يكون هذا التمثيل وحيد بالنسبة للتشارك. بمعنى أنه إذا أعطيت التفريقين decompositions التاليين

$vb_1 b_2 \ldots b_m = ua_1 a_2 \ldots a_n$

حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن $m = n$ كما يوجد تبديلة $\pi$ على $\{ 1,2, \cdots ,n\}$ بحيث $a_i ,\;b_{\pi (i)}$ متشاركان.

ملاحظة

الشرط الثاني يبين أنه إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث $u$ عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن أي تفريق آخر للعنصر a سيكون على الشكل $vb_1 b_2 \ldots b_n$ حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل يمكن إعادة ترتيبها وترقيمها بحيث يكون $a_i ,b_i$ متشاركان.

من ناحية أخرى إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ تفريق للعنصر a إلى حاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل $a_i$ حيث u عنصر وحدة فإننا بكتابة $a_i = u_i b_i$ حيث $a_i ,b_i$ متشاركان و $u_i$ عناصر وحدة نجد أن

$a = a = ua_1 a_2 \ldots a_n = vb_1 b_2 \ldots b_n$

حيث $v = uu_1 u_2 \ldots u_n$ عنصر وحدة. لهذا السبب فإن الشرط (2) في تعريف منطقة التحليل الوحيد هو أقوى جملة ممكنة للتعبير عن وحدانية التحليل في الحلقات.

حقائق ومبرهنات

حقيقة1: إذا كانت R منطقة تحليل وحيد وكان $p \in R$ غير قابل للتحليل فإن p أولي.

البرهان: ليكن p غير قابل للتحليل وأن $p|ab$ . إذا $ab = pc$ إذا كان a عنصر وحدة فإن $ua = 1$ لعنصر $u \in R$ وبالتالي $b = upc$ أي أن $p|b$ . بالمثل إذا كان b عنصر وحدة فإن $p|a$ . لذا نفرض أن a,b ليست عناصر وحدة. إذ

شارك هذه الصفحة :

	شارك الصفحة في الفيس بوك
	شارك الصفحة في صدي قوقل
	شارك الصفحة في تويتر Twitter
	تابعنا عبر خدمة الخلاصات RSS
	تابع تعليقات المدونة عبر الـRSS

حل مشكلة

مجموعة ماث رمز لحل المسائل

القضية Proposition :

أمثلة :

أنواع القضايا :

البرمجة الخطية

Linear Programming

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

تقطير المصفوفات

العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل

Prime Elements and Irreducible Elements

تعريف

أمثلة

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

الحلقة النيوثرية

الحلقة^[م] النيوثرية

Noetherian Ring

لمحة تاريخية

تعريف

منطقة التحليل الوحيد

Unique Factorization Domain (UFD)

تعريف

حقائق ومبرهنات

شارك هذه الصفحة :

0 التعليقات:

إرسال تعليق

ابحث عن حل لمشكلتك الآن

زوار الموقع

اقسام المدونة

ارشيف المدونة

وسوم

القضية Proposition :

أمثلة :

أنواع القضايا :

Linear Programming

Solving linear system by matrices

Prime Elements and Irreducible Elements

تعريف

أمثلة

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

الحلقة[م] النيوثرية

Noetherian Ring

لمحة تاريخية

تعريف

Unique Factorization Domain (UFD)

تعريف

حقائق ومبرهنات

شارك هذه الصفحة :

0 التعليقات:

إرسال تعليق

ابحث عن حل لمشكلتك الآن

زوار الموقع

اقسام المدونة

ارشيف المدونة

وسوم

الحلقة^[م] النيوثرية